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2015年同济创业谷暑期创新创业训练(55)

时间:2016-05-28 14:07点击:

[详细阅读] 绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位,的共轭复数为A. B. C.1 D.2.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石3.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为A. B. C. D.4.设,,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是A.B.C.对任意正数,第4题图D.对任意正数,5.设,.若p:成等比数列;q:,则A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件6.已知符号函数是上的增函数,,则A.  B.C. D.7.在区间上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则A. B.C. D.8.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度,得到离心率为的双曲线,则A.对任意的, B.当时,;当时,C.对任意的, D.当时,;当时,9.已知集合,,定义集合,则中元素的个数为A.77B.49C.45D.3010.设,表示不超过的最大整数.若存在实数,使得,,…,同时成立,则正整数的最大值是A.3B.4C.5D.6二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11—14题)11.已知向量,,则.12.函数的零点个数为.第13题图第14题图xOyTCNAMB13.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度m.14.如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点(B在A的上方),且.(Ⅰ)圆的标准方程为;(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于两点,下列三个结论:①;②;③.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)第15题图15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线,且,则.16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为,曲线C的参数方程为(t为参数),l与C相交于AB两点,则.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:____0________________________________________________________0____5____________0________(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;(Ⅱ)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象.若图象的一个对称中心为,求的最小值.18.(本小题满分12分)设等差数列的公差为d,前n项和为,等比数列的公比为q.已知,,,.(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)当时,记,求数列的前n项和.19.(本小题满分12分)第19题图《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马中,侧棱底面,且,过棱的中点,作交于点,连接(Ⅰ)证明:.试判断四面体是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为,求的值.20.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W____12____15____18________P____0.3____0.5____0.2________该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.(Ⅰ)求的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率.21.(本小题满分14分)一种作图工具如图1所示.是滑槽的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且,.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.xDOMNy第21题图2第21题图122.(本小题满分14分)已知数列的各项均为正数,,e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与e的大小;(Ⅱ)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;(Ⅲ)令,数列,的前项和分别记为,,证明:.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)试题参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.A2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.D9.C10.B二、填空题(本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分)11.9 12.213.14.(Ⅰ);(Ⅱ)①②③15. 16.三、解答题(本大题共6小题,共75分)17.(11分)(Ⅰ)根据表中已知数据,解得.数据补全如下表:____0________________________________________________________0____5____0________0________且函数表达式为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,得.因为的对称中心为,.令,解得,.由于函数的图象关于点成中心对称,令,解得,.由可知,当时,取得最小值.18.(12分)(Ⅰ)由题意有,即解得或故或(Ⅱ)由,知,,故,于是,①.②①-②可得,故.19.(12分)(解法1)(Ⅰ)因为底面,所以,由底面为长方形,有,而,所以.而,所以.又因为,点是的中点,所以.而,所以平面.而,所以.又,,所以平面.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面的交线.由(Ⅰ)知,,所以.又因为底面,所以.而,所以.故是面与面所成二面角的平面角,设,,有,在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.(解法2)(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.设,,则,,点是的中点,所以,,于是,即.又已知,而,所以.因,,则,所以.由平面,平面,可知四面体的四个面都是直角三角形,第19题解答图2第19题解答图1即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时,.20.(12分)(Ⅰ)设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为,则有(1)第20题解答图1第20题解答图2第20题解答图3目标函数为.当时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为.将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.当时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为.将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.当时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为.将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.故最大获利的分布列为____8160____10200____10800____________0.3____0.5____0.2________因此,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 21.(14分)(Ⅰ)设点,,依题意,第21题解答图,且,所以,且即且由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,于是,故,代入,可得,192.168.1.1,即所求的曲线的方程为(Ⅱ)(1)当直线的斜率不存在时,直线为或,都有.(2)当直线的斜率存在时,设直线,由消去,可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,所以,即.①又由可得;同理可得.由原点到直线的距离为和,可得.②将①代入②得,.当时,;当时,.因,则,,所以,当且仅当时取等号.所以当时,的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.22.(14分)(Ⅰ)的定义域为,.当,即时,单调递增;当,即时,单调递减.故的单调递增区间为,单调递减区间为.当时,,即.令,得,即.①(Ⅱ);;.由此推测:②下面用数学归纳法证明②.(1)当时,左边右边,②成立.(2)假设当时,②成立,即.当时,,由归纳假设可得.所以当时,②也成立.根据(1)(2),可知②对一切正整数n都成立.(Ⅲ)由的定义,②,算术-几何平均不等式,的定义及①得.即.

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